فیبوناچی تصادفی

 کشف یک عدد ثابت جدید ریاضی

 گردآورنده : آیورس پیترسون

مترجم : محمّد علی مهرجوفرد _ دانشجوی ریاضی کاربردی دانشگاه بیرجند

بر گرفته از مقر: http://www.sciencenews.org/pages/sn_arc99/6_12_99/bob1.htm

مه چیز با خرگوش‌های خیالی شروع‌ شد!                                             

یک ریاضیدان از شهر پیسا ی ایتالیا یعنی لئوناردو (كه به فیبوناچی نیز مشهور است)، در كتابی كه در سال 1202 كامل شد، مسئله ای به شرح ذیل مطرح کرد: فرض کنید یك جفت نوزاد خرگوش داریم و در هر ماه هر جفت بالغ، یك جفت خرگوش جدید تولید می كنند طوری که هر زوج نوزاد از ماه بعد از ماه تولدش ، بالغ شده و می توانند تولید مثل كنند.اگر فرض کنیم خرگوش ها نمی میرند، در پایان سال چند جفت خرگوش‌ خواهیم داشت ؟

تعداد كل جفت ها ،به صورت ماه به ماه، دنباله ی مقابل را ایجاد می كند1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,....  هر جمله ی‌ جدید مجموع دو جمله ی قبلی اش است. امروزه این مجموعه ی مرتب از عدد ها را دنباله فیبوناچی می نامند .

به طور تعجب‌آوری اعداد فیبوناچی اغلب در طبیعت مطرح می شود، از تعداد گلبرگ‌ها در گل‌های مختلف تا تعداد پولک ها در امتداد یك سطر مارپیچ در یك میوه ی كاج. آنها در علم كامپیوترنیز، مخصوصاً در مرتب كردن یا سازمان دادن اطلاعات دیده می‌شوند.

به طور شگفت‌آور، نسبت دو جمله ی پیاپی از دنباله فیبوناچی به یك عدد ویژه نزدیك  و نزدیكتر می شود ، این عدد اغلب نسبت طلائی نامیده  می شود و برابر با (1 + Ö5)/2  یا 1.6180339887....  می باشد. به عنوان مثال نسبت55/34   برابر1.617647... ، و نسبت بعدی ، یعنی 89/55 ، برابر 1.6181818.... می باشد.

به تازگی، دیوكر ویسواناث که یک دانشمند کامپیوتر از موسسه ی تحقیقات علوم ریاضی در بركلی كالیفرنیا است، نگاهی نو به اعداد فیبوناچی كرده و به طور غیرمنتظره ای ثابت ریاضی جدیدی با مقدار 1.13198824.... را  كشف نموده ، او نتیجه اش را در یك مقاله شرح می دهد كه در  Mathematics of Computation منتشرخواهد شد.

كیث دولین که یک ریاضیدان از دانشگاه سینت مری در مورگا ی كالیفرنیا است می گوید : تحقیق ویسواناث یك دروازه‌ مرموز را برای كارسنگین‌ ‌ ریاضیات نمایش می دهد .او به فنون ریاضی نیرومند اعتماد می‌كند كه علاوه بر این، مثلا برای  روشن کردن چگونگی رفتار مواد بی نظم استفاده می شدند.

ویسواناث وقتی به جای یک عنصر از دنباله فیبوناچی، عنصری را به صورت تصادفی معرفی كرد از آن چه برای دنباله فیبوناچی اتفاق افتاد تعجب نمود.

در اینجا یك راه را جهت اقدام کردن به این امر نشان می دهیم : مشابه دنباله فیبوناچی اولیه ، با اعداد 1 و  1، شروع می كنیم .

برای به دست آوردن جمله‌ بعدی می‌شود، به کمک یک سكه سالم ، شیر یا خط كرد تا تصمیم بگیریم آیا دو جمله آخری را با هم جمع كنیم یا آخرین جمله  را از جمله‌ قبلی کم نماییم.

شیروخط آمدن را به ترتیب به این معنی می گیریم كه باید جمع و تفریق انجام داد. پس در ابتدا، شیر آمدن به این منتج می‌شود كه1و1 را با هم جمع می كنیم و به 2 می رسیم ، و خط آمدن به این معنا است كه باید 1 از 1 كم شود تا 0 بدست آید. مطابق با این طرح  برای مثال وقتی نتیجه ی انداختن ها ی متوالی سكه به صورت ، شیر-شیر-خط-خط-خط-شیر باشد، دنباله ی ذیل ایجاد می شود

1, 1, 2, 3, –1, 4, –5, –1 .

لوید ان ترفذن از دانشگاه آكسفورد در انگلستان ذکر می‌كند كه نوشتن یك برنامه‌ كامپیوتری كوتاه ، كه این دنباله های فیبوناچی تصادفی را ایجاد ‌كند آسان است . او می گوید ، جستجوی طرح‌ها و مسیرها در میان چنین دنباله ها یی از اعداد می‌تواند یك سرگرمی جذاب  باشد .

قطعاً بینهایت دنباله از قاعده ی ویسواناث منتج می‌شوند ولی معدودی از آن ها خصوصیات ویژه ای دارند. برای نمونه، اگر همیشه سكه پرتاب شده رو بیاید، نتیجه ، همان دنباله ی  اولیه ی فیبوناچی است. حالت های دیگر نتایج پرتاب سكه می توانند یك الگوی تكراری مثل 1، 1، 0، 1، 1، 0، 1،1،0 و ... ، را تولید كنند.

ریاضیدانان با توجه به اینکه  چنین موارد خاصی در بین تمام دنباله ها ی ممكن به قدر كافی نادر اند، آنها را ندیده می‌گیرند.

دنباله ی فیبوناچی استاندارد  یك ویژگی مرموز دارد. برای مثال،مشاهده می شود عدد فیبوناچی صدم ، تقریباً برابر با توان صدم نسبت طلائی است.

ویسواناث با امتحان كردن نمونه‌ بارز دنباله ها ی فیبوناچی  تصادفی كه متكی بر پرتاب سكه است،  یك الگوی مشابه را كشف كرد. او مقدار قدر مطلق جمله ها را در نظر گرفت ، و فهمید جمله‌ صدم در چنین دنباله ای، با توان صدم عدد1.13198824....  تقریباً برابر است. در حقیقت، هر چه اندیس جمله افزایش می یابد، بیشتر مقدارش به توان مناسب از 1.13198824....  نزدیك می شود.

با وجود تاثیر گذاری عامل شانس و نوسانات بزرگ در مقادیر مشخص کننده ی یك  دنباله فیبوناچی تصادفی ، به طور میانگین، قدر مطلق اعداد ، با یك سرعت نمایی کاملا مشخص صعود می كند.

ویسواناث اظهار می دارد ، این كه این باید اتفاق بیافتد واضح نیست زیرا (با توجه به مقدار احتمال رو آمدن سکه سالم، انتظار می رفت تعداد تفریق کردن ها و جمع کردن ها یی که انجام داده ایم یکسان باشد و در نتیجه )باید نمودارنمونه ی بارز دنباله های فیبوناچی تصادفی  به یک خط افقی ثابت همگرا می شد، اما شکل نشان می دهد که در واقع آن نمودار به طور نمایی بالا می رود.

اقامه کردن برهانی محکم برای این نتیجه، یك كار زیرکانه بود. برای رسیدن به پاسخ  ، ویسواناث مجبور بود در میان چند مفهوم مختلف ریاضیات شامل اشكال هندسی پیچیده كه به عنوان فراكتال ها شناخته می شوند ،کاوش كند، و با محاسبات كامپیوتری کار را به اتمام برساند .

ترفذن اظهار می دارد ، موفقیت ویسواناث " سماجت و پنداشت یك نظم بسیارعالی را نشان داد".

دولین می افزاید،" ریاضیات یك ثابت جدید دارد." هنوز هیچ فردی  ارتباطی را بین این عدد خاص  و  دیگر ثابت‌ها ی معروف مثل نسبت طلائی پیدا نکرده است.

به طور شگفت‌آوری، ثابت ویسواناث یك پاسخ را برای  یك معمای ریاضی كه چند دهه پیش  از كار های هیلل فورستنبرگ ، و هری كستن بدست آمد فراهم می كند ، اکنون هیلل فورستنبرگ در دانشگاه هیبرو در بیت‌المقدس ، و هری كستن  در دانشگاه  كرنل می باشد.

در  بررسی یک زمینه ی ریاضی  متفاوت که ضرب ماتریس تصادفی نامیده شده است، فورستنبرگ و كستن این را ثابت كرده بودند که در دنباله ها ی عددی به وجود آمده به وسیله  انواع مسلم از اعمال شامل  یك عنصر تصادفی ، با افزایش اندیس، مقدار n امین جمله دنباله به توان n ام مقداری ثابت نزدیك‌تر می شود. به هر حال، آنها برای هیچ دنباله ای به مقدارعدد ثابت اشاره نكردند.

حال از آنجا که دنباله های فیبوناچی تصادفی در داخل این رسته دنباله ها قرار می‌گیرند، ثابت جدید ویسواناث یك مثال قابل دسترس از این اعداد ثابت را نمایش می دهد.

ترفذن می گوید : "این یك نتیجه‌ زیبا است با نمود های دلچسب متنوع". این یك توضیح زیبا برای این سوال است : وقتی كه اعداد مورد نظر خیلی بزرگ بشوند چگونه ممکن است فرایند تصادفی به یك نتیجه‌ قطعی منتهی گردد.

به علاوه، اگرچه نتیجه ی ویسواناث از نظرخودش هیچ كاربرد آشكاری ندارد، به عنوان یك مقدمه برای نوع پیچیده ریاضیات که به وسیله فورستنبرگ ، كستن و دیگران توسعه یافته به كار می رود. دولین می گوید: باارزش بودن آن ماشین‌آلات ریاضی در حسابداری برای خاصیت‌های مطالب بی نظم ثابت شده است، مخصوصاً چگونگی منتهی شدن حركات تصادفی مکرر به رفتاری منظم این را نشان می دهد.

این چنین ریاضیات توضیحات پایه ای را برای اینکه" چرا شیشه شفاف است؟"و یا " چطور جریان الکتریکی می‌تواند به آرامی و با یك شیوه‌ ی منظم  از میان یك نیمه‌رسانا(که در مکان هایی تصادفی از آن با ناخالصی هایی در واقع سوراخ ایجاد شده) بگذرد؟"بیان می دارد.

كار اصلی ویسواناث  ، تحت نظارت ترفذن در دانشگاه كرنل  انجام‌شده بود. اخیرا ترفذن و مارك امبری آكسفورد روشهایی به طور جزئی پیراسته شده از دنباله فیبوناچی تصادفی را بررسی كرده اند. اگر، برای مثال، فردی آخرین جمله‌ معلوم را  با نصف جمله‌ قبلی تركیب كند،که عمل اضافه‌كردن یا تفریق كردن بنا بر حالت پایین آمدن سکه پرتاب شده، معلوم می شود، اعداد دنباله با یك سرعت مسلم كاهش می‌یابند، و این نمایش‌دهنده تحلیل رفتن نمایی است.

با برسی كسوری بجز یك دوم، شاید بتوان كسور ی یافت که رفتار دنباله ی فیبوناچی تصادفی را در یکی از سه وجه :تحلیل رفتن نمایی، رشد نمایی ، ویا تقریبا ثابت ، نشان دهد. ترفذن می‌گوید : " وقتی كه کار روی آنرا در كامپیوتر شروع می‌كنید تمام این ها به سرعت شما را به خود علاقه مند می کنند "، با خود ترکیب کردنی که یك سرگرمی معتادكننده می‌شود.

هنوز برای كاوش و آزمایش ریاضی، مفاهیم فراوانی در سوالی که( با توجه به یك مدل کاملا خیالی جمعیتی از خرگوش‌ها )در چند قرن پیش مطرح شد، یافت می شود.

مراجع:

رشد و زوال در دنباله های فیبوناچی تصادفی . امبری ، م.، و ل.ن.ترفذن.پریپرینت

دنباله های فیبوناچی تصادفی و عدد 1.13198824....  در Mathematics of Computation . ویسواناث،د.زیر چاپ.

که در مقر  http://www.msri.org/people/members/divakar/ قابل دسترسی است.

خواندنی های اضافی:

ثابت ریاضی جدیدی کشف شد. کنج دولین (ماه مارس) . دولین،ک.1999.

که در مقرhttp://www.maa.org/devlin/devlin_3_99.html قابل دسترسی است.